Un cours élémentaire de calcul infinitésimal . les oefficients sont choisis soa pour faire la fonction (3) et son premier n — 1 dérivés coïncideresesespectivement avec f{x) et ses premiers dérivés n—l pour la valeur nominale x = 0. Le résultat de cette détermination est, par l'article 201, la fonction $„ (AS). Dans la représentation graphique, la courbe parabolique y = *„ (A;)est déterminée de façon à avoir un contact avec le (W-l)ème ordre (voirArt. 206) avec une courbe donnée y=f{x) au point a5= 0; et le problème est, de trouver des limites à la déviation possible d'une courbe par rapport à l'autre, telle que mesurée par la difierence de

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An elementary course of infinitesimal calculus . oefficients are chosen soas to make the function (3) and its first n — 1 derivatives coinciderespectively with f{x) and its first n—l derivatives for the par-ticular value x = 0. The result of this determination is, by Art.201, the function $„ (as). In the graphical representation, the parabolic curve y = *„ (a;)is determined so as to have contact of the (w-l)th order (seeArt. 206) with a given curve y=f{x) at the point a5= 0; and theproblem is, to find limits to the possible deviation of one curvefrom the other, as measured by the difierence of the ordinates, forvalues of x lying within a certain range. This is illustrated byFig. 149, which shews the curve y = log(l +a;) (4 L. 37 578 INFINITESIMAL CALCULUS. [CH. XIV and (by thinner lines) the curves y = x, y = x-^a?, y = x-^aP + ^a?, (5), obtained by taking 1, 2, 3, ... terms of the logarithmic series(Art. 202 (14)). The dotted lines correspond to a! = ± 1, and somark out the range of convergence of the latter series*. s, 3. Pig. 152. It appears, from the conditions which 0„(a;) haa beenmade to satisfy, that B„ («) and its first n — 1 derivatives * This very instructive example is due to Prof. Felix Klein. 203] tayloks theorem. 579 will be continuous from a; = 0 to x — h, and will all vanishfor x = 0. Now we can shew that any function which satisfiesthese conditions, and has a finite j?th derivative, must liebetween A —, and B —, , where A and B are the lower and upper limits to the valueswhich the wth derivative assumes in the interval from 0 to h. For, let F{x) be such a function. By hypothesis, wehave F(Q) = Q, F(0) = 0, ii(0) = 0, ... J?<«-)(0) = 0...(6), and A<F^^(x)<B (7), the latter condition holding from x = 0 to x = h. It followsfrom (7), by Art. 89, 4°, that (Adax f^()(a;)da;< (^Edx*, Jo Ji} Jo or, since J(»-« (0) = 0, Ax<Fi^-^^(x)<Bx (8). By a second application of the theorem referred to, we have rAxdx< fV(-)(

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